15. Методом математической индукции доказать справедливость неравенств для всех натуральных n ≥ 1: 1) 1/2 · 3/4 · 5/6 · … · (2n−1)/(2n) < 1/√(3n+1); 2) 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(2n) > 13/24.

В записанном условии оба утверждения имеют исключения при \(n=1\), поэтому доказать их для всех \(n\ge1\) нельзя.

1) При \(n=1\) обе части равны \(\frac12\), так что строгое неравенство неверно. Для всех \(n\ge2\) докажем даже более сильное нестрогое неравенство индукцией. Обозначим произведение через \(P_n\). База: \(P_2=\frac38\le\frac1{\sqrt7}\), поскольку \(9/64<1/7\). Если \(P_n\le1/\sqrt{3n+1}\), то

\(P_{n+1}=P_n\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{2n+1}{(2n+2)\sqrt{3n+1}}\le\frac1{\sqrt{3n+4}}\).

Последнее неравенство следует после возведения в квадрат: \((2n+1)^2(3n+4)\le(2n+2)^2(3n+1)\); разность правой и левой частей равна \(4n^2+5n\ge0\). При переходе от \(n=1\) к \(n=2\) неравенство становится строгим, и далее остаётся строгим.

2) При \(n=1\) сумма равна \(1/2<13/24\), поэтому утверждение неверно. Для \(n=2\) сумма равна \(1/3+1/4=7/12>13/24\). Обозначим сумму через \(S_n\). При переходе от \(n\) к \(n+1\) удаляется слагаемое \(1/(n+1)\) и добавляются \(1/(2n+1)+1/(2n+2)\). Их прибавка положительна, так как

\(\displaystyle \frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0\).

Следовательно, начиная с \(n=2\), сумма больше \(13/24\).

Ответ: пункты 1 и 2 неверны при \(n=1\); оба неравенства справедливы при всех натуральных \(n\ge2\).