12) Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если медианы BM и B₁M₁ равны, AB = A₁B₁, AM = A₁M₁.

Так как BM и B₁M₁ — медианы, точки M и M₁ являются серединами отрезков AC и A₁C₁. Поэтому

\(AC=2AM\), \(A_1C_1=2A_1M_1\).

Из условия \(AM=A_1M_1\), следовательно, \(AC=A_1C_1\).

В треугольниках ABM и A₁B₁M₁ имеем:

• \(AB=A_1B_1\);
• \(AM=A_1M_1\);
• \(BM=B_1M_1\).

Значит, \(\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1\) по трём сторонам. Поэтому \(\angle BAM=\angle B_1A_1M_1\).

Поскольку точки A, M, C лежат на одной прямой, а точки A₁, M₁, C₁ — на одной прямой, то \(\angle BAC=\angle B_1A_1C_1\).

Теперь в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны две стороны и угол между ними: \(AB=A_1B_1\), \(AC=A_1C_1\), \(\angle BAC=\angle B_1A_1C_1\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\).