12. Модули векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) равны. Найдите угол между векторами, если: а) \(|\vec a+3\vec b|=|\vec a-2\vec b|\); б) \(|2\vec a-3\vec b|=|\vec a+2\vec b|\).

Обозначим общий квадрат модуля через \(r^2\), а скалярное произведение \(\vec a\cdot\vec b\) — через \(p\). Тогда \(|\vec a|^2=|\vec b|^2=r^2\).

1. Возведём равенство модулей в квадрат: \(r^2+6p+9r^2=r^2-4p+4r^2\). Отсюда \(10p=-5r^2\), поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{p}{r^2}=-\dfrac12\), и \(\varphi=120^\circ\).

2. Возведём равенство модулей в квадрат: \(4r^2-12p+9r^2=r^2+4p+4r^2\). Отсюда \(8r^2=16p\), поэтому \(\cos\varphi=\dfrac{p}{r^2}=\dfrac12\), и \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: а) \(120^\circ\); б) \(60^\circ\).