12 Найдите наименьшее значение функции y = 62cos x - 65x + 45 на отрезке [ -3π/2 ; 0 ]

Решение:

Найдем производную функции:

• \[ y' = (62 \cos x - 65x + 45)' = -62 \sin x - 65 \]

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

• \[ -62 \sin x - 65 = 0 \]
• \[ -62 \sin x = 65 \]
• \[ \sin x = -\frac{65}{62} \]

Так как \( \sin x \) всегда находится в диапазоне от -1 до 1, а \(-\frac{65}{62}\) меньше -1, то уравнение \( \sin x = -\frac{65}{62} \) не имеет решений. Это означает, что производная функции никогда не равна нулю.

Теперь определим знак производной на заданном отрезке. Возьмем любую точку из отрезка, например, x = -\(\frac{\pi}{2}\):

• \[ y'(-\frac{\pi}{2}) = -62 \sin(-\frac{\pi}{2}) - 65 = -62(-1) - 65 = 62 - 65 = -3 \]

Так как производная отрицательна на всем отрезке, функция является убывающей.

Следовательно, наименьшее значение функции будет достигаться на правом конце отрезка, то есть при x = 0.

Вычислим значение функции в точке x = 0:

• \[ y(0) = 62 \cos(0) - 65(0) + 45 = 62(1) - 0 + 45 = 62 + 45 = 107 \]

Ответ: 107