13 а) Решите уравнение 3cos2x-7sin(π/2+x)-2=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].

Решение:

а) Решение уравнения:

Используем тригонометрические тождества:

• \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \]
• \[ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) \]

Подставим их в уравнение:

• \[ 3(1 - 2\sin^2(x)) - 7\cos(x) - 2 = 0 \]
• \[ 3 - 6\sin^2(x) - 7\cos(x) - 2 = 0 \]
• \[ 1 - 6\sin^2(x) - 7\cos(x) = 0 \]

Заменим \( \sin^2(x) \) на \( 1 - \cos^2(x) \):

• \[ 1 - 6(1 - \cos^2(x)) - 7\cos(x) = 0 \]
• \[ 1 - 6 + 6\cos^2(x) - 7\cos(x) = 0 \]
• \[ 6\cos^2(x) - 7\cos(x) - 5 = 0 \]

Пусть \( t = \cos(x) \). Тогда получаем квадратное уравнение:

• \[ 6t^2 - 7t - 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = (-7)^2 - 4(6)(-5) = 49 + 120 = 169 \]
• \[ \sqrt{D} = 13 \]

Найдем корни t:

• \[ t_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \]
• \[ t_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Так как \( \cos(x) \) не может быть больше 1, то \( t_1 = \frac{5}{3} \) не подходит.

Рассмотрим \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \).

Общее решение для \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) имеет вид:

• \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) Корни на отрезке [7π/2; 5π]:

Рассмотрим два случая:

1. \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

• \[ \frac{7\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 5\pi \]
• Разделим все на \( \pi \):
• \[ \frac{7}{2} \le \frac{2}{3} + 2n \le 5 \]
• Вычтем \( \frac{2}{3} \) из всех частей:
• \[ \frac{7}{2} - \frac{2}{3} \le 2n \le 5 - \frac{2}{3} \]
• \[ \frac{21 - 4}{6} \le 2n \le \frac{15 - 2}{3} \]
• \[ \frac{17}{6} \le 2n \le \frac{13}{3} \]
• Разделим на 2:
• \[ \frac{17}{12} \le n \le \frac{13}{6} \]
• \[ 1,41 \le n \le 2,16 \]
• Значит, \( n=2 \).
• Подставим \( n=2 \) в \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
• \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3} \]

2. \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

• \[ \frac{7\pi}{2} \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 5\pi \]
• Разделим все на \( \pi \):
• \[ \frac{7}{2} \le -\frac{2}{3} + 2n \le 5 \]
• Вычтем \( -\frac{2}{3} \) (прибавим \( \frac{2}{3} \)) из всех частей:
• \[ \frac{7}{2} + \frac{2}{3} \le 2n \le 5 + \frac{2}{3} \]
• \[ \frac{21 + 4}{6} \le 2n \le \frac{15 + 2}{3} \]
• \[ \frac{25}{6} \le 2n \le \frac{17}{3} \]
• Разделим на 2:
• \[ \frac{25}{12} \le n \le \frac{17}{6} \]
• \[ 2,08 \le n \le 2,83 \]
• Значит, \( n=2 \).
• Подставим \( n=2 \) в \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):
• \[ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(2) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{-2\pi + 12\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \]

Проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку:

• \( \frac{14\pi}{3} \approx 4,67\pi \). \( \frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \). \( 3.5\pi \le 4.67\pi \le 5\pi \). Значит, \( \frac{14\pi}{3} \) входит в отрезок.
• \( \frac{10\pi}{3} \approx 3,33\pi \). \( 3.5\pi \) не меньше \( 3.33\pi \). Значит, \( \frac{10\pi}{3} \) не входит в отрезок.

Ответ: а) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

б) \( \frac{14\pi}{3} \)