12. Найдите наименьшее значение функции y = (x - 18)eˣ на отрезке [16; 18].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке найдём её производную и критические точки.

Функция: \( y = (x - 18)e^x \).

Производная функции (используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \)):

\[ y' = (1 \cdot e^x) + ((x - 18) \cdot e^x) \]

\[ y' = e^x + xe^x - 18e^x \]

\[ y' = e^x (1 + x - 18) \]

\[ y' = e^x (x - 17) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^x (x - 17) = 0 \]

Поскольку \( e^x \) всегда больше нуля, то \( x - 17 = 0 \), откуда \( x = 17 \).

Полученная критическая точка \( x = 17 \) принадлежит отрезку \( [16; 18] \).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• При \( x = 16 \): \( y = (16 - 18)e^{16} = -2e^{16} \)
• При \( x = 17 \): \( y = (17 - 18)e^{17} = -1e^{17} \)
• При \( x = 18 \): \( y = (18 - 18)e^{18} = 0 \)

Сравним полученные значения:

\[ -2e^{16} \approx -2 \cdot 8.859 \times 10^6 = -17.718 \times 10^6 \]

\[ -e^{17} \approx -2.415 \times 10^7 \]

Значение \( -e^{17} \) является наименьшим.

Ответ: -e¹⁷