9. Найдите ctg a, если cos a = 5/√34 и a ∈ (π; 3π/2).

Решение:

Нам дан \( \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{34}} \) и \( \alpha \) находится в третьем квадранте \( (\pi; \frac{3\pi}{2}) \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{34}}\right)^2 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{34} = \frac{34 - 25}{34} = \frac{9}{34} \]

Так как \( \alpha \) находится в третьем квадранте, \( \sin \alpha \) отрицателен. Следовательно:

\[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{34}} = -\frac{3}{\sqrt{34}} \]

Теперь найдём \( \text{ctg} \alpha \):

\[ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{5}{\sqrt{34}}}{-\frac{3}{\sqrt{34}}} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} \]

Ответ: -5/3