8. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 30; объём пирамиды равен 50. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, проходит через середину стороны основания. Точка О — центр основания, следовательно, отрезок SO является высотой пирамиды.

Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( V \) — объём, \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота.

Нам дано:

• \( V = 50 \)
• \( S_{осн} = 30 \)

Найдём высоту \( H \), которая в данной пирамиде равна длине отрезка \( OS \):

\[ 50 = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot H \]

\[ 50 = 10 \cdot H \]

\[ H = \frac{50}{10} = 5 \]

Таким образом, длина отрезка \( OS \) равна 5.

Ответ: 5