13. а) Решите уравнение cos2x - cos²x - √2 sin x = 0.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \).

Подставим эту формулу в уравнение:

\[ (1 - 2\sin^2(x)) - \cos^2(x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]

Заменим \( \cos^2(x) \) на \( 1 - \sin^2(x) \):

\[ 1 - 2\sin^2(x) - (1 - \sin^2(x)) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]

\[ 1 - 2\sin^2(x) - 1 + \sin^2(x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]

\[ -\sin^2(x) - \sqrt{2} \sin(x) = 0 \]

Вынесем \( -\sin(x) \) за скобки:

\[ -\sin(x) (\sin(x) + \sqrt{2}) = 0 \]

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: \( \sin(x) = 0 \)

\[ x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( \sin(x) + \sqrt{2} = 0 \)

\[ \sin(x) = -\sqrt{2} \]

Так как \( -1 \le \sin(x) \le 1 \), а \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \), то это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = πk, где k ∈ Z