12. Найдите точку минимума функции y = \(\sqrt{x^2 + 14x + 53}\).

Краткое пояснение:

Для нахождения точки минимума функции, содержащей корень квадратный, достаточно найти минимум выражения под корнем, так как корень — возрастающая функция. Минимум квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \) находится в вершине параболы.

Пошаговое решение:

1. Выражение под корнем: \( f(x) = x^2 + 14x + 53 \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Так как коэффициент при \( x^2 \) (равный 1) положительный, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет минимум.
3. Абсцисса вершины параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a=1 \) и \( b=14 \).
4. Находим абсциссу точки минимума:
   \( x = -\frac{14}{2 \cdot 1} = -\frac{14}{2} = -7 \).
5. Чтобы найти значение функции в этой точке (ординату), подставим \( x = -7 \) в исходное уравнение:
   \( y = \sqrt{(-7)^2 + 14(-7) + 53} \)
   \( y = \sqrt{49 - 98 + 53} \)
   \( y = \sqrt{4 \cdot 53 - 98} \)
   \( y = \sqrt{104 - 98} \)
   \( y = \sqrt{4} = 2 \).
6. Таким образом, точка минимума имеет координаты (-7, 2). Задание просит найти именно точку минимума, подразумевая её координаты.

Ответ: (-7; 2)