13. а) Решите уравнение 3 log√2(cos x) + 2log√2(cos x) = 1.

Краткое пояснение:

Для решения данного логарифмического уравнения, сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием, затем преобразуем уравнение к более простому виду и решим его, учитывая область допустимых значений для косинуса.

Пошаговое решение:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): логарифм определён, когда его аргумент строго больше нуля. В данном случае: \( \cos x > 0 \).
2. Объединяем логарифмы, так как основания одинаковые:
   \( (3 + 2) \log_{\sqrt{2}}(\cos x) = 1 \)
   \( 5 \log_{\sqrt{2}}(\cos x) = 1 \)
3. Выражаем логарифм:
   \( \log_{\sqrt{2}}(\cos x) = \frac{1}{5} \)
4. Переходим от логарифмического уравнения к показательному:
   \( \cos x = (\sqrt{2})^{\frac{1}{5}} \)
5. Возводим \( \sqrt{2} \) в степень \( \frac{1}{5} \):
   \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)
   \( (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{10}} \).
6. Итак, \( \cos x = 2^{\frac{1}{10}} \).
7. Сравним значение \( 2^{\frac{1}{10}} \) с 1. Так как \( 2 > 1 \) и степень \( \frac{1}{10} > 0 \), то \( 2^{\frac{1}{10}} > 1 \).
8. Однако, значение косинуса любого угла не может быть больше 1 (то есть \( \cos x \le 1 \)).
9. Следовательно, уравнение \( \cos x = 2^{\frac{1}{10}} \) не имеет решений.

Ответ: Решений нет