12 Найдите точку минимума функции y = x³ – 300x + 14.

Решение:

1. Нахождение первой производной функции:
   

   \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 300x + 14) = 3x^2 - 300 \]

   
   


2. Приравнивание производной к нулю для нахождения критических точек:
   

   \[ 3x^2 - 300 = 0 \]

   
   

   \[ 3x^2 = 300 \]

   
   

   \[ x^2 = 100 \]

   
   

   \[ x = r 10 \]

   
   

   Критические точки: x = 10 и x = -10.

   
   


3. Нахождение второй производной для определения типа экстремума:
   

   \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 300) = 6x \]

   
   


4. Проверка критических точек второй производной:
   
   
   
   • При x = 10:
     

     \[ y''(10) = 6 \cdot 10 = 60 \]

     
     

     Так как y''(10) > 0, в точке x = 10 находится минимум.

     
     
   
   
   • При x = -10:
     

     \[ y''(-10) = 6 \cdot (-10) = -60 \]

     
     

     Так как y''(-10) < 0, в точке x = -10 находится максимум.

     
     
   
   
   
   


5. Нахождение значения функции в точке минимума:
   

   \[ y(10) = 10^3 - 300 \cdot 10 + 14 = 1000 - 3000 + 14 = -1986 \]

   
   

Ответ: (10, -1986)