13 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Решение:

Уравнение: 9^{sin x} + 9^sin(x+π) = 10/3.

Корни уравнения из пункта (а):

• \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)


• \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)


• \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)


• \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

Необходимо найти корни, принадлежащие отрезку \( [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi] \).

1. Проверяем корни первого типа: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
   
   
   
   • При n = -1: \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \). Это значение больше -2π, но меньше 0, и не входит в заданный отрезок.
   
   
   • При n = -2: \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку, так как \( -\frac{23\pi}{6} \approx -3.83\pi \) и \( -3.83\pi \) находится между \( -3.5\pi \) и \( -2\pi \).
   
   
   
   


2. Проверяем корни второго типа: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)
   
   
   
   • При n = -1: \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \). Это значение больше -2π, но меньше 0, и не входит в заданный отрезок.
   
   
   • При n = -2: \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку, так как \( -\frac{19\pi}{6} \approx -3.17\pi \) и \( -3.17\pi \) находится между \( -3.5\pi \) и \( -2\pi \).
   
   
   
   


3. Проверяем корни третьего типа: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
   
   
   
   • При n = -1: \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{-\pi - 12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку, так как \( -\frac{13\pi}{6} \approx -2.17\pi \) и \( -2.17\pi \) находится между \( -3.5\pi \) и \( -2\pi \).
   
   
   • При n = -2: \( x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{-\pi - 24\pi}{6} = -\frac{25\pi}{6} \). Этот корень меньше -2π.
   
   
   
   


4. Проверяем корни четвертого типа: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \)
   
   
   
   • При n = -1: \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). Это значение больше -2π, но меньше 0, и не входит в заданный отрезок.
   
   
   • При n = -2: \( x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = \frac{7\pi - 24\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку, так как \( -\frac{17\pi}{6} \approx -2.83\pi \) и \( -2.83\pi \) находится между \( -3.5\pi \) и \( -2\pi \).
   
   
   
   

Ответ: $$-\frac{23\pi}{6}$$, $$-\frac{19\pi}{6}$$, $$-\frac{17\pi}{6}$$, $$-\frac{13\pi}{6}$$.