13 а) Решите уравнение 9^sin x + 9^sin(x+π) = 10/3.

Решение:

1. Используем тригонометрическое тождество:
   

   \[ \sin(x + \pi) = -\sin x \]

   
   


2. Подставляем в уравнение:
   

   \[ 9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \frac{10}{3} \]

   
   


3. Вводим замену переменной: Пусть t = 9^{sin x}. Тогда уравнение примет вид:
   

   \[ t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3} \]

   
   


4. Решаем квадратное уравнение относительно t:
   
   
   
   • Умножим обе части на 3t:
     

     \[ 3t^2 + 3 = 10t \]

     
     
   
   
   • Перенесем все в одну сторону:
     

     \[ 3t^2 - 10t + 3 = 0 \]

     
     
   
   
   • Найдем дискриминант:
     

     \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \]

     
     
   
   
   • Найдем корни t:
     

     \[ t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

     
     

     \[ t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

     
     
   
   


5. Возвращаемся к замене переменной:
   
   
   
   • Случай 1: t = 3
     

     \[ 9^{\sin x} = 3 \]

     
     

     \[ (3^2)^{\sin x} = 3^1 \]

     
     

     \[ 3^{2 \sin x} = 3^1 \]

     
     

     \[ 2 \sin x = 1 \]

     
     

     \[ \sin x = \frac{1}{2} \]

     
     

     Отсюда, \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

     
     
   
   
   • Случай 2: t = 1/3
     

     \[ 9^{\sin x} = \frac{1}{3} \]

     
     

     \[ (3^2)^{\sin x} = 3^{-1} \]

     
     

     \[ 3^{2 \sin x} = 3^{-1} \]

     
     

     \[ 2 \sin x = -1 \]

     
     

     \[ \sin x = -\frac{1}{2} \]

     
     

     Отсюда, \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где n ∈ Z.

     
     
   
   

Ответ: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n \in Z$$.