12 Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 1/9 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Задание 12. Вписанный угол

Вписанный угол измеряется половиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Длина дуги связана с центральным углом.

Дано:

• Длина дуги равна \( \frac{1}{9} \) длины окружности.

Найти: величину вписанного угла в градусах.

Решение:

1. Длина окружности вычисляется по формуле \( C = 2 \pi R \).
2. Длина дуги \( L \) пропорциональна центральному углу \( \alpha \) (в радианах) по формуле \( L = R \alpha \).
3. По условию, \( L = \frac{1}{9} C \).
4. Подставим формулу длины окружности: \( L = \frac{1}{9} (2 \pi R) \).
5. Приравниваем выражения для длины дуги: \( R \alpha = \frac{2 \pi R}{9} \).
6. Отсюда, центральный угол в радианах: \( \alpha = \frac{2 \pi}{9} \) радиан.
7. Чтобы перевести радианы в градусы, умножим на \( \frac{180}{\pi} \):
8. \[ \alpha_{\text{град}} = \frac{2 \pi}{9} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{2 \cdot 180}{9} = 2 \cdot 20 = 40^{\circ} \]
9. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
10. \[ \beta = \frac{\alpha_{\text{град}}}{2} \]
11. \[ \beta = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \]

Ответ: 20°.