13 В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 24, а длина бокового ребра равна 18. Найдите объём пирамиды.

Задание 13. Объём пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды. Нам известна сторона основания, но нужно найти высоту.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания: \( a = 24 \).
• Боковое ребро: \( l = 18 \).

Найти: объём пирамиды \( V \).

Решение:

1. Площадь основания: так как основание — квадрат, \( S_{осн} = a^2 = 24^2 = 576 \).
2. Высота пирамиды: Чтобы найти высоту \( h \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
3. Диагональ основания: Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} = 24 \sqrt{2} \).
4. Половина диагонали основания: \( \frac{d}{2} = \frac{24 \sqrt{2}}{2} = 12 \sqrt{2} \).
5. По теореме Пифагора: \( h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2 \).
6. \[ h^2 + (12 \sqrt{2})^2 = 18^2 \]
7. \[ h^2 + (144 \cdot 2) = 324 \]
8. \[ h^2 + 288 = 324 \]
9. \[ h^2 = 324 - 288 = 36 \]
10. \[ h = \sqrt{36} = 6 \]
11. Объём пирамиды:
12. \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 576 \cdot 6 \]
13. \[ V = 192 \cdot 6 = 1152 \]

Ответ: 1152.