Ответ:

Павел Петрович вызвал Базарова на дуэль после того, как застал его в неловкой ситуации с Фенечкой: Базаров поцеловал её. Для Павла Петровича это было нарушением приличий и оскорблением брата Николая Петровича. К личному поводу добавились давняя неприязнь и накопившийся идейный конфликт.

Павел Петрович формулирует вызов как требование защитить честь. Базаров принимает его, хотя считает дуэль нелепой и устаревшей.