12. Прямая \(y=11x-8\) является касательной к графику функции \(f(x)=5x^2+bx-3\). Найдите \(b\), учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Пусть абсцисса точки касания равна \(x\). Производная функции: \(f'(x)=10x+b\). Поскольку наклон прямой равен 11, получаем \(10x+b=11\), то есть \(b=11-10x\).

В точке касания значения функции и прямой совпадают: \(5x^2+bx-3=11x-8\). Подставим выражение для \(b\): \(5x^2+(11-10x)x-3=11x-8\).

После упрощения получаем \(5x^2-11x+5=11x-8\), то есть \(5x^2-22x+13=0\). У этого уравнения корни \(x=\frac{11\pm2\sqrt{11}}{5}\); оба корня положительны, поэтому условие \(x>0\) не выбирает единственный вариант.

Для каждого корня \(b=11-10x\), поэтому возможны два значения: \(b=-11-4\sqrt{11}\) или \(b=-11+4\sqrt{11}\).

Ответ: \(b=-11-4\sqrt{11}\) или \(b=-11+4\sqrt{11}\).