12. Решите иррациональное уравнение: а) \(2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1\); б) \(\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}\); в) \(\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1\); г) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}\).

а) Пусть \(t=\sqrt{x-1}\), тогда \(t\ge0\), а \(\sqrt{x+4}=\sqrt{t^2+5}\). Получаем \(2t-1=\sqrt{t^2+5}\). Возводим в квадрат: \(4t^2-4t+1=t^2+5\), откуда \(3t^2-4t-4=0\). Поэтому \(t=2\), и \(x=t^2+1=5\).

б) Область определения: \(x\ge\frac12\). После возведения в квадрат: \(\sqrt{(x+3)(2x-1)}=2\). Тогда \((x+3)(2x-1)=4\Rightarrow2x^2+5x-7=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=-\frac72\); подходит только \(x=1\).

в) Пусть \(t=\sqrt{x-2}\). Тогда \(\sqrt{t^2+8}=2t+1\). После возведения в квадрат: \(3t^2+4t-7=0\), откуда \(t=1\), поэтому \(x=3\).

г) После возведения в квадрат: \(\sqrt{(x+1)(x-2)}=2\). Следовательно, \((x+1)(x-2)=4\Rightarrow x^2-x-6=0\). Корни \(x=3\) и \(x=-2\); по ОДЗ подходит только \(x=3\).

Ответ: а) \(5\); б) \(1\); в) \(3\); г) \(3\).