12. Рис. 17. AC — биссектриса ∠BAE; ∠CDE:∠AED = 7:8. Найти: ∠DEF.

По рисунку \(AB=BC\), поэтому треугольник \(ABC\) равнобедренный. Дано \(\angle ABC=120^\circ\), значит \(\angle BAC=\angle ACB=30^\circ\).

Так как \(AC\) — биссектриса \(\angle BAE\), то \(\angle CAE=30^\circ\), а \(\angle BAE=60^\circ\).

Поскольку \(AB\text{ и }BE\) — параллельные прямые, \(\angle AED=60^\circ\). Тогда из отношения \(\angle CDE:\angle AED=7:8\): \(\angle CDE=\frac78\cdot60^\circ=52.5^\circ\).

Угол \(DEF\) смежный с \(\angle CDE\), поэтому \(\angle DEF=180^\circ-52.5^\circ=127.5^\circ\).

Ответ: \(\angle DEF=127.5^\circ=127^\circ30′\).