12. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение:

1. Обозначим расстояние от пристани, которое проплыл рыболов, через \( S \) (км).
2. Обозначим собственную скорость лодки через \( v_{л} = 6 \) км/ч.
3. Обозначим скорость течения реки через \( v_{т} = 2 \) км/ч.
4. Время движения вверх по течению: \( t_{вверх} = \frac{S}{v_{л} - v_{т}} = \frac{S}{6 - 2} = \frac{S}{4} \) часа.
5. Время движения вниз по течению: \( t_{вниз} = \frac{S}{v_{л} + v_{т}} = \frac{S}{6 + 2} = \frac{S}{8} \) часа.
6. Общее время путешествия составило 5 часов. Это время включает время движения туда и обратно, а также время, которое рыболов ловил рыбу (2 часа).
7. Уравнение движения: \( t_{вверх} + t_{ловля} + t_{вниз} = 5 \) часов.
8. \( \frac{S}{4} + 2 + \frac{S}{8} = 5 \)
9. Вычтем 2 часа ловли из общего времени: \( \frac{S}{4} + \frac{S}{8} = 5 - 2 \)
10. \( \frac{S}{4} + \frac{S}{8} = 3 \)
11. Приведем дроби к общему знаменателю (8):
12. \( \frac{2S}{8} + \frac{S}{8} = 3 \)
13. \( \frac{3S}{8} = 3 \)
14. Решим уравнение относительно \( S \):
15. \( 3S = 3 \cdot 8 \)
16. \( 3S = 24 \)
17. \( S = \frac{24}{3} = 8 \) км.

Ответ: 8.