12. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние от пристани, которое проплыл рыболов. \( v_{лодки} = 6 \) км/ч — собственная скорость лодки. \( v_{течения} = 2 \) км/ч.

1. Путь вверх по течению:

Скорость лодки против течения: \( v_{вверх} = v_{лодки} - v_{течения} = 6 - 2 = 4 \) км/ч.

Время, потраченное на путь вверх: \( t_{вверх} = \frac{S}{v_{вверх}} = \frac{S}{4} \) часа.

2. Время ловли рыбы: \( t_{ловли} = 2 \) часа.

3. Путь вниз по течению:

Скорость лодки по течению: \( v_{вниз} = v_{лодки} + v_{течения} = 6 + 2 = 8 \) км/ч.

Время, потраченное на путь вниз: \( t_{вниз} = \frac{S}{v_{вниз}} = \frac{S}{8} \) часа.

4. Общее время в пути:

Общее время путешествия составило 5 часов. Это время включает путь вверх, ловлю рыбы и путь вниз.

\[ t_{вверх} + t_{ловли} + t_{вниз} = 5 \]\[ \frac{S}{4} + 2 + \frac{S}{8} = 5 \]

Решим уравнение относительно \( S \):

\[ \frac{S}{4} + \frac{S}{8} = 5 - 2 \]\[ \frac{S}{4} + \frac{S}{8} = 3 \]

Приведём дроби к общему знаменателю (8):

\[ \frac{2S}{8} + \frac{S}{8} = 3 \]\[ \frac{3S}{8} = 3 \]

Умножим обе части на 8:

\[ 3S = 24 \]

Разделим обе части на 3:

\[ S = \frac{24}{3} \]\[ S = 8 \] км.

Ответ: 8.