12 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

Утверждение: Два прямоугольных треугольника равны, если их гипотенузы равны и у них есть по одному равному острому углу.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где:

• Угол C = Угол C₁ = 90° (прямоугольные треугольники).
• AB = A₁B₁ (гипотенузы равны).
• Угол A = Угол A₁ (острые углы равны).

Мы хотим доказать, что треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, то сумма двух острых углов равна 90°.

Для треугольника ABC: Угол A + Угол B = 90°.

Для треугольника A₁B₁C₁: Угол A₁ + Угол B₁ = 90°.

По условию, Угол A = Угол A₁. Подставим это в равенства:

Угол B = 90° - Угол A

Угол B₁ = 90° - Угол A₁

Так как Угол A = Угол A₁, то 90° - Угол A = 90° - Угол A₁.

Следовательно, Угол B = Угол B₁.

Теперь у нас есть два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

• AB = A₁B₁ (по условию, гипотенузы равны).
• Угол A = Угол A₁ (по условию, острые углы равны).
• Угол B = Угол B₁ (мы доказали, что другие острые углы тоже равны).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.

Следовательно, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Утверждение доказано.