9 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

Доказательство неравенства треугольника:

Пусть дан треугольник ABC. Необходимо доказать, что:

• AB < AC + CB
• AC < AB + BC
• BC < AB + AC

Проведем через вершину B прямую, параллельную стороне AC. Пусть точка D лежит на этой прямой.

Из рисунка видно, что угол ABC является развернутым, то есть 180°.

Рассмотрим продолжение стороны BC за точку C. Пусть точка D лежит на этой прямой.

Из рисунка видно, что угол ACD является внешним углом треугольника ABC.

Доказательство от противного:

Предположим, что одно из неравенств не выполняется. Например, предположим, что AB ≥ AC + CB.

Это означало бы, что кратчайший путь из точки A в точку B — это прямое соединение AB. Однако, если мы пойдем из A в C, а затем из C в B, мы пройдем путь AC + CB. Если AB ≥ AC + CB, то путь через C либо равен прямому пути, либо длиннее. Но это противоречит основному свойству прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками.

Геометрическое доказательство:

Проведем луч через точку B и точку C. На этом луче отложим отрезок CD, равный AC. Тогда AD = AC + CB.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ABC является внешним углом треугольника ABD.

Угол ABC > угла ADB.

Так как в треугольнике ABD против большего угла ADB лежит большая сторона AB, а против меньшего угла ABC лежит меньшая сторона AD, то AB > AD.

Подставляя AD = AC + CB, получаем: AB > AC + CB. Это противоречит нашему предположению.

Что такое неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальное свойство геометрических фигур (и метрических пространств), которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других сторон.