12 Тип 6 Найдите корень уравнения log5 (6 + 7x) = log5 (4 + x) + 1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Представим 1 в виде логарифма по основанию 5: \( 1 = ext{log}_5 5 \).
• Уравнение примет вид: \( ext{log}_5 (6 + 7x) = ext{log}_5 (4 + x) + ext{log}_5 5 \).
• Используем свойство логарифма суммы: \( ext{log}_a b + ext{log}_a c = ext{log}_a (b imes c) \).
• \( ext{log}_5 (6 + 7x) = ext{log}_5 ((4 + x) imes 5) \)
• \( ext{log}_5 (6 + 7x) = ext{log}_5 (20 + 5x) \)
• Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
• \( 6 + 7x = 20 + 5x \)
• Переносим члены с x в левую часть, а числа — в правую:
• \( 7x - 5x = 20 - 6 \)
• \( 2x = 14 \)
• \( x = 7 \)
• Проверка: Аргументы логарифмов должны быть положительными.
• \( 6 + 7 imes 7 = 6 + 49 = 55 > 0 \)
• \( 4 + 7 = 11 > 0 \)
• Оба аргумента положительны.

Ответ: 7