12. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен √5/2. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \( a \). Точка O — середина стороны CD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен \( \frac{\sqrt{5}}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Катеты этого треугольника равны:

• \( AD = a \)
• \( DO = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2} \)

Гипотенуза AO является радиусом окружности, то есть \( AO = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

По теореме Пифагора для треугольника ADO:

\( AD^2 + DO^2 = AO^2 \)

\[ a^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 \]

\[ a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5}{4} \]

\[ \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5}{4} \]

\[ \frac{5a^2}{4} = \frac{5}{4} \]

\[ 5a^2 = 5 \]

\[ a^2 = 1 \]

Площадь квадрата ABCD равна \( S = a^2 \).

\( S = 1 \)

Ответ: 1.