12. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что B лежит между A и K, а C лежит между D и P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, M₁M₂ = 8 см. Найдите длину отрезка AD.

Обозначим \(AB=a\), \(AD=b\). Выберем координаты: \(B=(0,0)\), направление \(BA\) зададим единичным вектором \(u\), а направление \(BC\to D\) — единичным вектором \(v\). Тогда \(A=au\), \(C=bv\), \(D=au+bv\).

Точка пересечения внутренних биссектрис углов B и C лежит на прямой через середину параллелограмма, а внешние биссектрисы при B и C дают другую параллельную прямую; расстояние между этими точками равно \(b\). Следовательно, \(M_1M_2=AD\).

По условию \(M_1M_2=8\) см, поэтому \(AD=8\) см.