9. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину отрезка AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Пусть основания трапеции — \(AB\parallel CD\). Так как \(AC\perp CD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный, а \(\angle D=60°\), поэтому \(\angle ACD=30°\). Из параллельности оснований угол между \(AC\) и \(AB\) также равен 30°. Поскольку \(AC\) — биссектриса угла A, другая половина угла A тоже 30°, следовательно, \(\angle A=60°\).

Обозначим \(CD=h\). В прямоугольном треугольнике \(ACD\) с углами 30°, 60°, 90° получаем \(AD=2h\). Проекция боковой стороны \(AD\) на основание равна \(h\), поэтому разность оснований равна \(h\): \(AB=CD+h=2h\). Значит, \(AB=AD=2h\), а периметр равен \(AB+BC+CD+AD\). При этом из геометрии конфигурации длина \(BC\) определяется независимо от этих условий, так что заданных данных недостаточно для однозначного нахождения \(AB\): периметр не задаёт все стороны без дополнительного условия или уточнения расположения вершин.

В стандартной конфигурации выпуклой трапеции \(AB\parallel CD\) условия биссектрисы и перпендикулярности несовместимы: биссектриса даёт \(\angle A=60°\), тогда как \(AC\perp CD\parallel AB\) требует \(AC\perp AB\). Поэтому условие, вероятно, содержит ошибку; однозначный численный ответ получить нельзя.