12) В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 21°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть АВ = x, тогда АС = 2x.

В треугольнике АВС, по теореме косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠BAC).

В параллелограмме ABCD, AB = CD = x, BC = AD.

В треугольнике ACD, по теореме косинусов: AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 * AC * CD * cos(∠ACD).

AD^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 * (2x) * x * cos(21°) = 5x^2 - 4x^2 * cos(21°).

BC^2 = 5x^2 - 4x^2 * cos(21°).

В треугольнике ABC: BC^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 * x * (2x) * cos(∠BAC) = 5x^2 - 4x^2 * cos(∠BAC).

5x^2 - 4x^2 * cos(21°) = 5x^2 - 4x^2 * cos(∠BAC).

cos(21°) = cos(∠BAC).

∠BAC = 21°.

Угол CAD = ∠BAC = 21° (накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей АС).

Угол BAD = ∠BAC + ∠CAD = 21° + 21° = 42°.

Угол ABC = 180° - 42° = 138°.

В треугольнике АОВ (О - точка пересечения диагоналей), ∠OAB = 21°, ∠OBA = 180° - 138° = 42°.

Угол между диагоналями ∠AOB = 180° - (21° + 42°) = 180° - 63° = 117°.

Другой угол между диагоналями = 180° - 117° = 63°.