12. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BAD прямой, AB = 4, BC = CD = 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Нам дано, что трапеция прямоугольная, значит, \( AB \) перпендикулярно \( AD \) и \( BC \). \( AB \) является высотой трапеции. \( AB = 4 \). Основания \( BC = 5 \) и \( AD \). В прямоугольном треугольнике \( ACD \) (где \( \angle A = 90^{\circ} \) ) имеем \( CD = 5 \) и \( AD \) — один катет, \( AC \) — другой. Однако, в условии сказано, что \( CD = 5 \) — это другая сторона, а не основание. Скорее всего, \( CD \) — это боковая сторона, тогда \( CD = AB = 4 \) (как у прямоугольника), что противоречит условию \( CD = 5 \).

Предположим, что \( CD \) — это боковая сторона, тогда \( CD = 5 \). Так как трапеция прямоугольная, \( AB \) — высота, \( AB = 4 \). Через вершину \( C \) проведём прямую, параллельную \( AB \), до пересечения с \( AD \) в точке \( E \). Тогда \( ABCE \) — прямоугольник, \( BC = AE = 5 \), \( CE = AB = 4 \). \( ED = AD - AE \). В прямоугольном треугольнике \( CDE \) имеем \( CD = 5 \) и \( CE = 4 \). По теореме Пифагора: \( ED^2 = CD^2 - CE^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \). \( ED = 3 \). Тогда \( AD = AE + ED = 5 + 3 = 8 \).

Средняя линия трапеции \( m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{5 + 8}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \).

Ответ: 6,5