21. Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?

Решение:

За одни сутки (день + ночь) улитка поднимается на: \( 3 \text{ м} - 2 \text{ м} = 1 \text{ м} \).

Высота дерева — 10 м.

Если бы улитка поднималась равномерно, то потребовалось бы 10 дней. Однако, в последний день улитка, достигнув вершины, уже не спустится вниз.

Рассчитаем, сколько метров улитка пройдет за \( N \) полных суток, после чего она сможет забраться на вершину за один день.

За \( N \) суток улитка поднимается на \( N \) метров.

В последний, \( (N+1) \)-й день, улитка должна забраться на оставшееся расстояние. Максимальная высота, которую она может преодолеть за день, — 3 метра.

Значит, \( N \) метров + 3 метра (за день) \(\geq\) 10 метров.

\( N \geq 10 - 3 \).

\( N \geq 7 \).

Возьмем \( N = 7 \) полных суток.

За 7 суток улитка поднимется на \( 7 \cdot 1 = 7 \) метров.

На утро 8-го дня улитка находится на высоте 7 метров.

В течение 8-го дня улитка залезет еще на 3 метра. \( 7 \text{ м} + 3 \text{ м} = 10 \text{ м} \).

Таким образом, улитка достигнет вершины дерева за 8 дней.

Ответ: 8