Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( v_1 = 15 \) км/ч — скорость первого велосипедиста.
Пусть \( v_2 = 10 \) км/ч — скорость второго велосипедиста.
Пусть \( v_3 \) — скорость третьего велосипедиста.
Обозначим время старта первого велосипедиста за \( t_0 = 0 \).
Второй велосипедист выехал через 1 час, то есть в \( t_0 + 1 \).
Третий велосипедист выехал еще через 1 час после второго, то есть в \( t_0 + 1 + 1 = t_0 + 2 \).
Пусть \( T \) — время, когда третий велосипедист догнал второго. В этот момент оба проехали одинаковое расстояние.
Время движения первого: \( T \).
Время движения второго: \( T - 1 \).
Время движения третьего: \( T - 2 \).
Расстояние первого: \( S_1 = v_1 · T = 15T \).
Расстояние второго: \( S_2 = v_2 · (T - 1) = 10(T - 1) \).
Когда третий догнал второго: \( S_3 = S_2 \).
\( v_3(T - 2) = 10(T - 1) \).
Через 2 часа 20 минут после того, как догнал второго, третий догнал первого. 2 часа 20 минут = \( 2 + \frac{20}{60} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \) часа.
Время, когда третий догнал первого, равно \( T + \frac{7}{3} \).
Расстояние первого к этому моменту: \( S'_1 = v_1 · (T + \frac{7}{3}) = 15(T + \frac{7}{3}) \).
Расстояние третьего к этому моменту: \( S'_3 = v_3 · (T + \frac{7}{3} - 2) \).
Когда третий догнал первого: \( S'_3 = S'_1 \).
\( v_3(T + \frac{7}{3} - 2) = 15(T + \frac{7}{3}) \).
\( v_3(T + \frac{1}{3}) = 15T + 15 \cdot \frac{7}{3} = 15T + 35 \).
У нас есть система из двух уравнений:
- \( v_3(T - 2) = 10(T - 1) \)
- \( v_3(T + \frac{1}{3}) = 15T + 35 \)
Из первого уравнения выразим \( v_3 \):
\( v_3 = \frac{10(T - 1)}{T - 2} \).
Подставим во второе уравнение:
\( \frac{10(T - 1)}{T - 2} (T + \frac{1}{3}) = 15T + 35 \).
\( 10(T - 1)(T + \frac{1}{3}) = (15T + 35)(T - 2) \).
\( 10(T^2 + \frac{1}{3}T - T - \frac{1}{3}) = 15T^2 - 30T + 35T - 70 \).
\( 10(T^2 - \frac{2}{3}T - \frac{1}{3}) = 15T^2 + 5T - 70 \).
\( 10T^2 - \frac{20}{3}T - \frac{10}{3} = 15T^2 + 5T - 70 \).
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дробей:
\( 30T^2 - 20T - 10 = 45T^2 + 15T - 210 \).
\( 0 = 45T^2 - 30T^2 + 15T + 20T - 210 + 10 \).
\( 0 = 15T^2 + 35T - 200 \).
Разделим на 5:
\( 3T^2 + 7T - 40 = 0 \).
Решим квадратное уравнение для \( T \):
\( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 · 3 · (-40) = 49 + 480 = 529 \).
\( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \).
\( T = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 23}{2 · 3} = \frac{-7 \pm 23}{6} \).
Два возможных значения \( T \):
\( T_1 = \frac{-7 + 23}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \).
\( T_2 = \frac{-7 - 23}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \).
Время \( T \) должно быть положительным, поэтому \( T = \frac{8}{3} \) часа.
Теперь найдём \( v_3 \) подставив \( T = \frac{8}{3} \) в формулу \( v_3 = \frac{10(T - 1)}{T - 2} \).
\( v_3 = \frac{10(\frac{8}{3} - 1)}{\frac{8}{3} - 2} = \frac{10(\frac{8}{3} - \frac{3}{3})}{\frac{8}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{10(\frac{5}{3})}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{50}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{50}{2} = 25 \).
Скорость третьего велосипедиста — 25 км/ч.
Ответ: 25
