12. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK равна 9, а боковая сторона BC равна 15. Найдите длину отрезка MN, если точки M и N являются серединами боковых сторон.

Так как треугольник равнобедренный с боковыми сторонами AB и BC, медиана BK проведена к основанию AC и является также высотой. В прямоугольном треугольнике BKC:

\(KC=\sqrt{BC^2-BK^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12\).

Следовательно, \(AC=2KC=24\). Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, поэтому по теореме о средней линии треугольника \(MN=\frac12 AC=12\).

Ответ: 12.