12. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 6 и BC боковые стороны равны 2√6. Найдите ∠BDC, если ∠ADB = 45°.

Пусть высота трапеции равна \(h\). Так как \(\angle ADB=45^\circ\), горизонтальная проекция отрезка DB также равна \(h\).

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной AB, высотой и горизонтальной проекцией, получаем:

\[(6-h)^2+h^2=(2\sqrt6)^2.\]

\[36-12h+2h^2=24,\qquad h^2-6h+6=0.\]

Для существующей трапеции берём \(h=3+\sqrt3\). Тогда угол между диагональю DB и боковой стороной DC равен разности их наклонов: \(75^\circ-45^\circ=30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).