12. В треугольнике даны стороны 6√2 и 12; угол, противоположный стороне 6√2, равен 30°. Найти угол x, противоположный стороне, длина которой на рисунке не указана.

По теореме синусов для угла x и угла 30°: \(\frac{\sin x}{6\sqrt{2}}=\frac{\sin30°}{12}\). Поэтому \(\sin x=\frac{6\sqrt{2}\cdot 1/2}{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Синус угла задаёт два значения в пределах от 0° до 180°: \(x=\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})\) или \(x=180°-\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})\). Второе невозможно, так как сумма углов треугольника уже превысила бы 180° вместе с углом 30°.

Ответ: \(x=\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4})\approx20.7°\).