12. Вычислить определённый интеграл: \(\int_{-1}^{1} x^4 dx\)

Решение:

Сначала найдём первообразную для \( x^4 \).

• Первообразная \( F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5} \).

Теперь вычислим значение определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

• \( \int_{-1}^{1} x^4 dx = F(1) - F(-1) \)
• \( = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \)
• \( = \frac{1}{5} - \frac{-1}{5} \)
• \( = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \)
• \( = \frac{2}{5} \)

Ответ: \(\frac{2}{5}\)