12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: \( y = 3x \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \) и осью \( Ox \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( f(x) = 3x \), \( a = 1 \), \( b = 3 \).

\( S = \int_{1}^{3} 3x dx \)

Найдем первообразную для \( 3x \):

\( \int 3x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} \)

Теперь вычислим определенный интеграл:

\( S = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3} = \frac{3(3)^2}{2} - \frac{3(1)^2}{2} \)

\( S = \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{27}{2} - \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

Ответ: Площадь фигуры равна 12.