4. Решить логарифмическое уравнение: \( \lg(x+4) - \lg(x-3) = \lg 8 \).

Решение:

Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).

\( \lg \frac{x+4}{x-3} = \lg 8 \)

Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем выражения под знаком логарифма:

\( \frac{x+4}{x-3} = 8 \)

Умножим обе части уравнения на \( (x-3) \), учитывая, что \( x \neq 3 \):

\( x+4 = 8(x-3) \)

\( x+4 = 8x - 24 \)

Соберём члены с \( x \) в одной части, а числа — в другой:

\( 4 + 24 = 8x - x \)

\( 28 = 7x \)

\( x = \frac{28}{7} \)

\( x = 4 \)

Проверим ОДЗ (область допустимых значений): \( x+4 > 0 \) и \( x-3 > 0 \). При \( x=4 \), \( 4+4=8 > 0 \) и \( 4-3=1 > 0 \). ОДЗ соблюдено.

Ответ: x = 4.