13. (1 балл) Найти площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 4см и гипотенузой 5 см вокруг большего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета образуется конус. Больший катет является высотой конуса, а гипотенуза — образующей.

1. Найдем второй катет треугольника по теореме Пифагора: \( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \) см.
2. Так как вращение происходит вокруг большего катета (4 см), то высота конуса \( h = 4 \) см, а радиус основания конуса равен меньшему катету, \( r = 3 \) см. Образующая конуса \( l = 5 \) см.
3. Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле \( S = \pi rl \).
4. Подставим значения: \( S = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \) см².

Ответ: \( 15\pi \) см².