20. (3 балла) Основанием прямой призмы является ромб со стороной 4см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Найдем диагонали ромба:

Ромб с углом 60° состоит из двух равносторонних треугольников. Диагонали ромба \( d_1 \) и \( d_2 \).

Меньшая диагональ \( d_1 = a = 4 \) см (так как противолежащие углы ромба 60° и 120°, меньшая диагональ соединяет вершины углов 120°, а большая — вершины углов 60°).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной ромба и половинами диагоналей:

\( (\frac{d_2}{2})^2 + (\frac{d_1}{2})^2 = a^2 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = 4^2 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 + 2^2 = 16 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 + 4 = 16 \)

\( (\frac{d_2}{2})^2 = 12 \)

\( \frac{d_2}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.

\( d_2 = 4\sqrt{3} \) см.

2. Определим высоту призмы:

Диагональные сечения призмы — это прямоугольники. Диагональное сечение, соответствующее меньшей диагонали ромба \( d_1 \), является квадратом. Это означает, что высота призмы \( H \) равна меньшей диагонали ромба.

\( H = d_1 = 4 \) см.

3. Найдем объем призмы:

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

\( V = S_{осн} × H \)

Площадь ромба \( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см².

\( V = 8\sqrt{3} \) см² \( \times 4 \) см = \( 32\sqrt{3} \) см³.

Ответ: \( 32\sqrt{3} \) см³.