13.(3 балла) Найдите решение уравнения: √x + 7 + √x - 2 = 9

Решение:

Решим иррациональное уравнение \( \sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9 \).

1. Перенесём один корень в правую часть: \( \sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2} \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2 \)
3. \( x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x-2) \)
4. \( x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x - 2 \)
5. \( x+7 = 79 + x - 18\sqrt{x-2} \)
6. Вычтем \( x \) из обеих частей: \( 7 = 79 - 18\sqrt{x-2} \)
7. Перенесём \( 79 \) в левую часть: \( 7 - 79 = -18\sqrt{x-2} \)
8. \( -72 = -18\sqrt{x-2} \)
9. Разделим обе части на \( -18 \): \( \frac{-72}{-18} = \sqrt{x-2} \)
10. \( 4 = \sqrt{x-2} \)
11. Снова возведём обе части в квадрат: \( 4^2 = (\sqrt{x-2})^2 \)
12. \( 16 = x-2 \)
13. \( x = 16 + 2 \)
14. \( x = 18 \)
15. Проверим решение: \( \sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9 \). Решение верно.

Ответ: \( x = 18 \).