14.(3 балла) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x^3 - 9x^2 на отрезке [-1; 4]

Решение:

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y = 2x^3 - 9x^2 \) на отрезке \( [-1; 4] \).

1. Найдём производную функции: \( y' = (2x^3 - 9x^2)' = 6x^2 - 18x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 18x = 0 \)
3. \( 6x(x - 3) = 0 \)
4. Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \). Обе точки принадлежат отрезку \( [-1; 4] \).
5. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 = 2(-1) - 9(1) = -2 - 9 = -11 \).
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 2(0)^3 - 9(0)^2 = 0 - 0 = 0 \).
• При \( x = 3 \): \( y(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 = 2(27) - 9(9) = 54 - 81 = -27 \).
• При \( x = 4 \): \( y(4) = 2(4)^3 - 9(4)^2 = 2(64) - 9(16) = 128 - 144 = -16 \).
6. Сравним полученные значения: \( -11, 0, -27, -16 \).
7. Наибольшее значение функции равно \( 0 \) (при \( x=0 \)).
8. Наименьшее значение функции равно \( -27 \) (при \( x=3 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( 0 \), наименьшее значение функции равно \( -27 \).