13. а) Решите уравнение \(8^x-7\cdot4^x+7\cdot2^{x+1}-8=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\log_5 3;\log_3 5]\).

а) Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(8^x=t^3\), \(4^x=t^2\), а \(2^{x+1}=2t\). Уравнение принимает вид:

\(t^3-7t^2+14t-8=0\).

Разложим многочлен: \((t-1)(t-2)(t-4)=0\). Поэтому \(t=1,2,4\), и из \(2^x=t\) получаем \(x=0,1,2\).

б) Оценим границы промежутка: \(\log_5 3<1\), поскольку \(3<5\); также \(\log_3 5>1\), поскольку \(5>3\). Следовательно, из найденных корней промежутку \([\log_5 3;\log_3 5]\) принадлежат \(x=1\) и \(x=2\).

Ответ: а) \(0,1,2\); б) \(1,2\).