14. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер \(AA_1=3\), \(AB=4\), \(AD=5\). Пусть \(O\) — центр основания \(ABCD\), \(O_1\) — центр основания \(A_1B_1C_1D_1\), а \(K\) — точка, делящая отрезок \(OO_1\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(O_1\). а) Постройте сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку \(K\), параллельной диагонали \(AC_1\) параллелепипеда и диагонали \(BD\) его основания \(ABCD\). б) Найдите площадь этого сечения.

Выберем координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(4,0,0)\), \(D=(0,5,0)\), \(A_1=(0,0,3)\). Тогда \(C_1=(4,5,3)\), а направление диагонали \(AC_1\) задаёт вектор \((4,5,3)\). Направление \(BD\) задаёт вектор \((-4,5,0)\).

Центры оснований имеют координаты \(O=(2,2.5,0)\), \(O_1=(2,2.5,3)\). Так как \(OK:KO_1=2:1\), точка \(K=(2,2.5,2)\).

а) Сечение — параллелограмм с вершинами \(K\), \(P=K-(4,5,3)/3=(2/3,5/6,1)\), \(Q=K+(4,5,3)/3=(10/3,25/6,3)\), \(R=K+(-4,5,0)/2=(0,5,2)\). Точки \(P,Q,R\) лежат на рёбрах \(AA_1,C_1C,DD_1\) соответственно. Его стороны попарно параллельны диагоналям, заданным в условии: \(PQ\parallel AC_1\), \(PR\parallel BD\). Поэтому границу сечения можно записать как \(P-Q-R-K-P\).

б) Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения его сторон. Можно взять векторы \(PQ=(8/3,10/3,2)\) и \(PR=(-2/3,25/6,1)\). Их векторное произведение равно \((-5, -10/3, 125/9)\), поэтому площадь равна \(\sqrt{25+100/9+15625/81}=\sqrt{18050}/9=5\sqrt{722}/9\).

Ответ: площадь сечения \(\frac{5\sqrt{722}}{9}\).