15. Решите неравенство \(\frac{\sqrt{1-x^2+2x}+x-2}{\log_5(1,5-x)+\log_5 2}\leq 0\).

Область определения числителя: \(1-x^2+2x=2-(x-1)^2\geq0\), то есть \(1-\sqrt2\leq x\leq1+\sqrt2\). Для логарифмов требуется \(1.5-x>0\); знаменатель равен \(\log_5(3-2x)\) и не должен быть нулём, поэтому дополнительно \(x<1.5\), \(x\ne1\).

Обозначим числитель через \(N(x)=\sqrt{2-(x-1)^2}+x-2\). Его нули найдём из \(\sqrt{2-(x-1)^2}=2-x\), где правая часть должна быть неотрицательной. Возведение в квадрат даёт \(2-(x-1)^2=(2-x)^2\), откуда \(x=1\) или \(x=1.5\); оба значения удовлетворяют равенству, но \(x=1\) исключено из-за знаменателя, а \(x=1.5\) не входит в область определения логарифма. Знак числителя: он отрицателен при \(x<1\) и положителен при \(x>1\) в рассматриваемой области.

Знаменатель \(\log_5(3-2x)\) положителен при \(x<1\) и отрицателен при \(x>1\). Поэтому дробь отрицательна на обеих частях области определения; точка \(x=1\) исключена, а нулей дроби в области определения нет.

Ответ: \([1-\sqrt2;1)\cup(1;1+\sqrt2]\).