13. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что её отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

Пусть ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, а проведённая прямая пересекает параллельные стороны AB и CD в точках P и Q.

1. Центральная симметрия с центром O переводит A в C, а B в D, поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2. При этой симметрии прямая AB переходит в CD. Поэтому точка P пересекается с образом на CD в точке Q.
3. Центральная симметрия переводит отрезок PQ в себя и меняет его концы местами. Значит, O — середина PQ.

Следовательно, отрезок PQ делится точкой O пополам.