14. Дан параллелограмм ABCD: точка M принадлежит стороне BC, точка N принадлежит стороне CD, O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Прямые MO и NO пересекают прямые AD и AB соответственно в точках P и Q. Докажите, что точки M, N, P и Q — вершины параллелограмма.

В параллелограмме ABCD точка O является центром центральной симметрии: она переводит сторону BC в AD, а CD — в AB.

1. Так как M лежит на BC, его образ при симметрии с центром O лежит на AD. При этом образ M лежит также на прямой MO, поэтому это точка P.
2. Следовательно, O — середина MP.
3. Аналогично, образ N лежит одновременно на AB и на прямой NO, то есть совпадает с Q. Значит, O — середина NQ.
4. В четырёхугольнике MNPQ диагонали MP и NQ пересекаются и делятся точкой O пополам. По признаку параллелограмма MNPQ — параллелограмм.

Точки M, N, P и Q являются вершинами параллелограмма.