16. На сторонах параллелограмма ABCD отложены, как указано на рисунке а), б) равные отрезки AM, DN, CP, BQ. Докажите, что точки M, N, P и Q являются вершинами параллелограмма.

Пусть общая длина отмеченных отрезков равна x. Рассмотрим оба рисунка.

а) Точки M и N лежат на AD, причём AM = DN = x. Поэтому отрезок MN параллелен AD. Точки Q и P лежат на BC, причём BQ = CP = x; значит, QP ∥ BC. Так как AD ∥ BC, получаем MN ∥ QP.

Кроме того, вектор от M к Q равен вектору от N к P: оба отрезка соединяют соответствующие точки параллельных сторон, отстоящие от концов на одинаковое расстояние x. Следовательно, MQ ∥ NP. Значит, MNPQ — параллелограмм.

б) Здесь точки M, N лежат на AD, а Q, P — на BC, причём AM = DN = CP = BQ = x.

1. На параллельных сторонах AD и BC равные отступы от соответствующих концов дают MN ∥ QP.
2. Отрезки MQ и NP соединяют соответствующие точки сторон, расположенные на одинаковом расстоянии x от концов. Поэтому MQ ∥ NP.
3. Четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны, является параллелограммом.

В обоих случаях MNPQ — параллелограмм.