13. К натуральному числу справа приписали число 12. В результате получилось число на 210 большее изначально. Какое число было изначально?

Решение:

Пусть исходное натуральное число равно \(x\).

Когда к числу \(x\) справа приписали число 12, получилось новое число. Если \(x\) — двузначное, то новое число равно \(100x + 12\). Если \(x\) — трехзначное, то новое число равно \(1000x + 12\), и так далее. В общем случае, если \(x\) имеет \(n\) цифр, то новое число равно \(10^n x + 12\).

Новое число на 210 больше исходного:

\(10^n x + 12 = x + 210\)

\(10^n x - x = 210 - 12\)

\(x (10^n - 1) = 198\)

Теперь подберем \(n\) (количество цифр в исходном числе) так, чтобы \(10^n - 1\) было делителем 198.

Если \(n=1\), то \(10^1 - 1 = 9\). \(198 / 9 = 22\). В этом случае \(x = 22\). Но мы предполагали, что \(x\) — однозначное число, а получили двузначное. Противоречие.

Если \(n=2\), то \(10^2 - 1 = 99\). \(198 / 99 = 2\). В этом случае \(x = 2\). Это однозначное число, что соответствует нашему предположению \(n=1\) (ошибка в логике выше, надо было предположить n=1 сначала).

Давайте начнем с предположения о количестве цифр.

Предположим, что исходное число было однозначным (n=1).

Тогда новое число будет \(10x + 12\).

\(10x + 12 = x + 210\)

\(9x = 210 - 12\)

\(9x = 198\)

\(x = \frac{198}{9} = 22\)

Получили \(x=22\), но мы предполагали, что \(x\) — однозначное число. Это противоречие.

Предположим, что исходное число было двузначным (n=2).

Тогда новое число будет \(100x + 12\).

\(100x + 12 = x + 210\)

\(99x = 210 - 12\)

\(99x = 198\)

\(x = \frac{198}{99} = 2\)

Получили \(x=2\), но мы предполагали, что \(x\) — двузначное число. Это противоречие.

Предположим, что исходное число было трехзначным (n=3).

Тогда новое число будет \(1000x + 12\).

\(1000x + 12 = x + 210\)

\(999x = 198\)

\(x = \frac{198}{999}\)

Это не натуральное число. Противоречие.

Вернемся к уравнению \(x (10^n - 1) = 198\). Мы ищем натуральное \(x\). Значит \(10^n - 1\) должен быть делителем 198.

Делители 198: 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198.

Среди них есть числа вида \(10^n - 1\):

• \(10^1 - 1 = 9\). Если \(10^n - 1 = 9\), то \(n=1\). Тогда \(x = 198 / 9 = 22\). Но \(x\) должно быть однозначным.
• \(10^2 - 1 = 99\). Если \(10^n - 1 = 99\), то \(n=2\). Тогда \(x = 198 / 99 = 2\). Но \(x\) должно быть двузначным.

Возможно, условие задачи подразумевает, что приписываются цифры, а не число. «К натуральному числу справа приписали число 12». Это может означать, что к числу \(x\) добавили 12, т.е. \(x+12 = x+210\), что неверно.

Значит, речь идет именно о записи числа. Пусть исходное число — \(x\).

Если \(x\) — однозначное, то новое число = \(10x + 12\). \(10x + 12 = x + 210 \rightarrow 9x = 198 \rightarrow x = 22\). Не подходит, т.к. \(x\) должно быть однозначным.

Если \(x\) — двузначное, то новое число = \(100x + 12\). \(100x + 12 = x + 210 \rightarrow 99x = 198 \rightarrow x = 2\). Не подходит, т.к. \(x\) должно быть двузначным.

Если \(x\) — трехзначное, то новое число = \(1000x + 12\). \(1000x + 12 = x + 210 \rightarrow 999x = 198 \rightarrow x = 198/999\). Не натуральное.

Есть другой вариант интерпретации: К числу \(x\) справа приписали цифры '1' и '2'.

Пусть число \(x\) имеет \(k\) цифр. Тогда новое число равно \(x \cdot 100 + 12\).

\(x \cdot 100 + 12 = x + 210\)

\(100x - x = 210 - 12\)

\(99x = 198\)

\(x = \frac{198}{99} = 2\)

Проверим: Исходное число = 2. Приписываем справа 12, получаем 212. Разница: \(212 - 2 = 210\). Это условие задачи выполняется.

Ответ: 2.