13 Количество целых значений а, при которых уравнение |x - a²| = 3 - a имеет корни разных знаков, равно

Решение:

Уравнение \( |x - a^2| = 3 - a \).

1. Для существования решений необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: \( 3 - a \ge 0 \), то есть \( a \le 3 \).

2. Уравнение распадается на два случая:

а) \( x - a^2 = 3 - a \) \( \implies \) \( x_1 = a^2 - a + 3 \)

б) \( x - a^2 = -(3 - a) \) \( \implies \) \( x - a^2 = a - 3 \) \( \implies \) \( x_2 = a^2 + a - 3 \)

3. Корни должны быть разных знаков. Это значит, что произведение корней должно быть отрицательным:

\[ x_1 · x_2 < 0 \]

\[ (a^2 - a + 3)(a^2 + a - 3) < 0 \]

Рассмотрим множители:

* \( a^2 - a + 3 \): Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 · 1 · 3 = 1 - 12 = -11 < 0 \). Так как коэффициент при \( a^2 \) положительный, то \( a^2 - a + 3 > 0 \) для всех \( a \).

* \( a^2 + a - 3 \): Найдем корни уравнения \( a^2 + a - 3 = 0 \).

\[ a = \frac{-1 ± \sqrt{1^2 - 4 · 1 · (-3)}}{2 · 1} = \frac{-1 ± \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 ± \sqrt{13}}{2} \]

Таким образом, \( a^2 + a - 3 < 0 \) при \( a \in (\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) \).

4. Объединим условия \( a · b < 0 \) и \( a ³ \le 3 \).

Нам нужно, чтобы \( a^2 + a - 3 < 0 \) и \( a ³ \le 3 \).

\( \sqrt{13} \) приблизительно \( 3.6 \).

\( a \in (\frac{-1 - 3.6}{2}; \frac{-1 + 3.6}{2}) = (\frac{-4.6}{2}; \frac{2.6}{2}) = (-2.3; 1.3) \).

Условие \( a ³ \le 3 \) выполняется для всех \( a \) из этого интервала.

5. Найдем целые значения \( a \) в интервале \( (-2.3; 1.3) \): \( a = -2, -1, 0, 1 \).

6. Проверим случай, когда один из корней равен нулю. Если \( x_1 = 0 \), то \( a^2 - a + 3 = 0 \), что невозможно (дискриминант отрицательный).

Если \( x_2 = 0 \), то \( a^2 + a - 3 = 0 \), что дает \( a = \frac{-1 ± \sqrt{13}}{2} \) (не целые).

7. Таким образом, целые значения \( a \) - это -2, -1, 0, 1. Их количество равно 4.

Ответ: 4