14 Число решений уравнения cos 2x = sin x - 2 sin³ x, принадлежащих интервалу [0; 3π/2), равно

Решение:

Уравнение: \( \cos(2x) = \sin(x) - 2\sin^3(x) \).

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \).

\[ 1 - 2\sin^2(x) = \sin(x) - 2\sin^3(x) \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 2\sin^3(x) - 2\sin^2(x) - \sin(x) + 1 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \sin(x) \).

\[ 2t^3 - 2t^2 - t + 1 = 0 \]

Разложим многочлен на множители:

\[ 2t^2(t - 1) - 1(t - 1) = 0 \]

\[ (2t^2 - 1)(t - 1) = 0 \]

Это даёт два случая:

1) \( t - 1 = 0 \) \( \implies \) \( t = 1 \) \( \implies \) \( \sin(x) = 1 \).

На интервале \( [0; \frac{3\pi}{2}) \), \( \sin(x) = 1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} \).

2) \( 2t^2 - 1 = 0 \) \( \implies \) \( t^2 = \frac{1}{2} \) \( \implies \) \( t = ±\frac{1}{\sqrt{2}} = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \).

а) \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

На интервале \( [0; \frac{3\pi}{2}) \), \( \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{3\pi}{4} \).

б) \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

На интервале \( [0; \frac{3\pi}{2}) \), \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{5\pi}{4} \).

Все найденные корни \( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \) принадлежат интервалу \( [0; \frac{3\pi}{2}) \).

Всего 4 решения.

Ответ: 4